미적분 미분 궁금합니다

궁금합니다

문제

f(x) = (x - 1)e^{-x}

(f ∘ g)(x + 1) = x

g'(1)을 구하는 문제입니다.

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1. 식 정리

(f ∘ g)(x + 1) = f(g(x + 1)) = x

양변을 x에 대해 미분합니다.

f(g(x + 1))의 미분은 합성함수 미분법을 사용합니다.

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2. 미분

f(g(x + 1))' = f'(g(x + 1)) · g'(x + 1)

좌변 미분 결과는 1입니다.

따라서

f'(g(x + 1)) · g'(x + 1) = 1

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3. x = 0 대입

g(1)을 알아야 하므로 x + 1 = 1이 되도록 x = 0을 넣습니다.

f(g(1)) = 0

f(x) = (x - 1)e^{-x} 이므로

(x - 1)e^{-x} = 0

x = 1

따라서 g(1) = 1

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4. f'(x) 계산

f(x) = (x - 1)e^{-x}

곱미분법 적용

f'(x) = e^{-x} + (x - 1)(-e^{-x})

f'(x) = e^{-x}(1 - x + 1)

f'(x) = e^{-x}(2 - x)

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5. f'(g(1)) 계산

g(1) = 1

f'(1) = e^{-1}(2 - 1) = e^{-1}

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6. 최종 계산

f'(g(1)) · g'(1) = 1

e^{-1} · g'(1) = 1

g'(1) = e

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정답은 e 입니다.